孙博华院士：关于钱伟长对胡海昌-鹫津久一朗（Hu-Washizu）三场泛函和变分原理的质疑

孙博华院士：关于钱伟长对胡海昌-鹫津久一朗（Hu-Washizu）三场泛函和变分原理的质疑

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从时间跨度看，您对这个问题关注了40年的时间，请问为什么要研究这个问题？

我本人1979上大学学习力学专业，1983毕业论文选题是：广义变分原理，当时主要是学习钱伟长先生1983发表的论文，我的本科毕业论文是用英文写的，自己还学习了如何使用机械英文打字机。在攻读硕士研究生期间，读了钱伟长写的《广义变分原理》，但对于其中的有关胡海昌变分原理的点评我当时不完全理解，感觉比较迷茫。1989年在清华大学工程力学系跟随张维先生做博士后期间，曾写过一篇电磁弹性力学的广义变分原理的论文，之后虽然再没有继续有关这方面的研究，但我一直刻骨铭记钱伟长先生对于胡海昌先生提出的三场泛函的评述和质疑。期待将来有学者对质疑给予合理的解释。

作为一位学习力学的后来者，我非常尊敬钱伟长和胡海昌二位先生，我选力学专业就是我爸曾给我说过中国有“三钱”（钱学森、钱三强和钱伟长，后来我有幸与钱学森和钱伟长二位先生还有过短暂的面对面交流）。1986年我跟随叶开沅先生攻读博士学位，钱伟长先生是叶开沅先生在清华大学的硕士导师。我在清华大学期间，曾去胡海昌先生在中关村的住所拜访几次，与胡先生有很好的学术交流提及过钱伟长先生对变分原理的质疑，还有过在胡海昌家吃过饭的难忘经历，特别是，在1991我博士后出站时，张维先生邀请胡海昌先生担任我博士后出站报告的答辩评审主席。

1991年6月清华大学工程力学系孙博华博士后出站答辩评审会

（左起：任文敏、薛大为、张维院士、孙博华、胡海昌院士、诸德超、徐秉业）

由于以上的联系，我一直希望可以对钱伟长先生对胡海昌的三场泛函的质疑做出自己的理解。但由于1991年出国留学多年，就没有再去思考这方面的问题，2018年12月回国全职工作后，了解到胡海昌先生没有对钱伟长先生的质疑发表过有关文章，也没有看到其他学者的合理解释，钱伟长提出的质疑已经近40年还没有答案。这个任务落在了我们的肩上。

钱伟长院士、刘人怀院士、孙博华 （2001年于暨南大学）

考虑到钱伟长和胡海昌二位先生曾对中国力学事业的巨大影响，特别是他们在建立广义变分原理过程中的奠基作用，能回答钱伟长质疑将不仅有助于理解广义变分原理的构造.，而且由于广义变分原理被认为是中国力学领域最大的理论成果之一，对钱伟长质疑的合理解答，不仅有助于理解中国人在力学基本理论方面的贡献，也是对钱伟长和胡海昌二位先生的崇高致敬和最好的纪念。

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《力学人》链接：https://mp.weixin.qq.com/s/sWXA21OjlSMQnEKfrnpUFA

中国力学学会期刊网：https://pubs.cstam.org.cn/index/news/4160

钱伟长先生在使用拉格朗日乘子方法构造弹性力学的三场泛函时，发现在解除本构关系这个约束时，出现拉格朗日乘子为零的现象，据此，钱伟长先生认为Hu-Washizu泛函不是三场泛函只是二场泛函、Hu-Washizu变分原理不是三场变分原理而是二场变分原理。钱伟长先生的质疑自1983年提出至今已近40年，仍然没有明确的解答。为此，西安建筑科技大学的孙博华教授对此问题进行了有益的探索，其研究成果发表在著名刊物（一区顶刊）：Sun, B.H., On Chien’s question to the Hu-Washizu three-field functional and variational principle, Appl.Math.Mech.-Engl.Ed., 43(4)537-546(2022).

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在科学发展过程遇到一些需要求极值的问题 （Extremization Problem），求解这些问题的方法称为变分方法（Variational Method）。例如（1）两点间的最短连线问题：在欧几里得空间任意两点的最短连线是连接两点的直线，这是谁都知道的。但在历史上严格证明这个结论确曾是一个有名的变分法命题；如果不在欧几里得空间，比如在曲面上的两点的短程线（Geodesic line）就不是直线了；爱因斯坦广义相对论的四维时空内的短程线也不是直线；（2）最速降线问题（The Brachystochrone Problem），这是另一个历史上有名的变分法命题，它是约翰•伯努利 (Johan Bernoulli 1696) 以公开信的形式提出的，曾引起广泛的注意，历经包括许多科学家如莱布尼茨、牛顿、欧拉、拉格朗日等几乎100年的努力，才获得较为完善的解答。

有关变分法研究的最早文献可能是欧拉1744发表的著名工作：

L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, Lausannae & Genevae, 1744. Enestr. 65, Opera Omnia, Ser. I, Vol. 24.

对于变分法贡献最大的是法国科学家拉格朗日（Joseph Louis de Lagrange），至今使用的变分符号就是他引入的，在他的名著《分析力学》（Mécanique Analytique）系统使用变分处理力学问题；对于有约束的变分问题，拉格朗日还提出了通过引入拉格朗日乘子构造一个新的泛函，利用变分方法确定拉格朗日乘子的方法。拉格朗日开辟了力学或者物理学使用变分法的传统。在力学中的弹性力学中也有使用变分法的传统，比如里兹（W. Ritz）在研究薄板弯曲问题提出的Ritz方法。

对于弹性力学问题，其需要考虑平衡方程，变形关系和本构关系，经典的变分法是使用以位移为基本场的最小势能原理或者以应力为基本场的最小余能原理推导平衡方程，而认为变形关系和本构关系都是自然成立的。1950年，德裔美国学者 Eric Reissner 提出了一个突破性的思路，他把位移场和应力场作为独立变量，考察这二个场的泛函和变分原理。1951年比利时学者 De Veubeke在一篇用法语写的50多页论文中，利用拉格朗日方法（multiplicateur de Lagrange）构造了一个四场泛函和变分原理，这四个场分别是位移、应力、应变和表面应力。1954年中国学者胡海昌提出了三场（位移、应力、应变）泛函和变分原理并用中文和英文分别发表在《物理学报》和《中国科学》（英文）。在美国MIT访问的日本学者鹫津久一朗（K. Washizu）于1955年在MIT的研究报告中也报道了他提出的三场（位移、应力、应变）泛函和变分原理，这个内部报告没有正式发表（注：作者没有看到这个报告）。由于当时交流不便，国际上认为胡海昌和鹫津久一朗（K. Washizu）是独立提出三场泛函和变分原理，所以文献上通常称为胡海昌和鹫津久一朗（简称Hu-Washizu）变分原理。需要还原历史的是，胡海昌在其中文原文（1954）和英文翻译（1955）都引用了比利时学者De Veubeke的著名论文，所以有文献认为应当承认De Veubeke的杰出贡献，三场变分原理应当称为Veubeke-Hu-Washizu变分原理。

胡海昌和鹫津久一朗提出三场变分原理后影响有限，但随着以变分原理为基础的有限元方法的蓬勃发展，在单元构造方面原来基于位移场的最小势能原理不够用了，需要更加广义的变分原理，以便可以通过放松应力和应变场的约束来构造更好的单元。这样胡海昌和鹫津久一朗提出的三场变分原理就越来越重要。据说，胡海昌提出的三场变分原理被认为是至今为止中国力学在基础理论方面最重要的工作和中国对世界力学的主要贡献之一。

可是，在1950-1957年的八年中，领导、指导和推荐了胡海昌先生几十篇论文的著名科学家钱伟长先生，于1983年在Applied Math. And Mech.,4(2) 143-157(1983) 发表一篇论文，质疑胡海昌提出的三场泛函不是三场（位移、应变、应力）而只是二场（位移、应变）的，并证明了本构关系（即应力应变关系）是个无法解除的约束，因为其对应的拉格朗日乘子为零；钱伟长先生还于1985年出版专著《广义变分原理》全面系统的阐述了其观点。从1983钱伟长先生提出质疑至今已经近40年，问题还没有合理的解答。怎么办？

孙博华教授介绍了钱伟长的质疑观点，即使用拉格朗日乘子方法在胡-鹫变分原理（Hu-Washizu变分原理）中解除应力应变关系（本构关系）约束的失败是因为解除本构关系时导致对应的拉格朗日乘子为零，所以钱伟长认为Hu-Washizu变分原理不是三场的而是二场的变分原理。

经过仔细验证，钱伟长先生使用拉格朗日乘子解除约束来构造广义泛函的方法和推导完成正确无误，钱伟长先生对于拉格朗日乘子为零的洞察和讨论非常深刻。为了避免拉格朗日乘子为零，钱伟长先生还提出了高阶拉格朗日乘子方法以及以此构造出来了更一般的钱伟长广义泛函，结果也是正确的，但没有指出拉格朗日乘子为零的根本原因。

孙博华教授注意到，导致拉格朗日乘子为零是使用拉格朗日乘子来构造广义泛函时出现的，而胡海昌的广义泛函是直接给出的，没有构造过程，所以钱伟长说是使用的“凑合法“试出来的，但胡海昌这种用凑合法凑合出来的广义泛函的一次变分的确可以导出弹性力学的三大基本关系即平衡方程、应变位移关系和应力应变关系。【科学研究需要洞察力，在学术思想形成的初级阶段往往需要“凑合法”，通过不断地试错来寻找合适的思路，随着对问题的深入理解，应当从“凑合法”逐渐发展到系统的方法。】

这样就产生了钱伟长质疑与Hu-Washizu变分原理的矛盾，即为什么拉格朗日乘子为零？是不是拉格朗日乘子方法失灵了？为什么Hu-Washizu变分原理仍然是三场的变分原理？拉格朗日乘子为零是不是说明Hu-Washizu泛函中已经隐含了应力应变关系的一种结构？是否有更高层次的原理支配着本构关系？…..

孙博华教授注意到以上问题的核心就是对本构关系的理解和推导问题，为了解决这个问题，仅仅在变分方法范畴内使用标准的拉格朗日乘子方法是不能给出根本性解答的。为此，必须跳出通常的变分框架，上升到连续统不可逆热力学的高度，因为本构关系本质上是连续统热力学的自然结果。从仔细观察连续统不可逆热力学导出本构关系的过程中去发现有关的信息。经过重新推导发现，连续统不可逆热力学的 Clausius-Duhem 不等式可以说就是本构关系的一种隐性表示。具有Clausius-Duhem 不等式中某种结构的泛函就意味着可以导出本构关系，因为本构关系就是这样被从Clausius-Duhem 不等式推导出来的。如果一个泛函包涵这种结构，就可以说已经隐含了本构关系，所以使用拉格朗日乘子方法解除本构关系的时候必然导致拉格朗日乘子为零。这也说明拉格朗日乘子方法本身没有问题。

按照这个理解发现Hu-Washizu泛函刚好具有这样的结构，所以其一阶变分为零就可以导出本构关系。再加上Hu-Washizu泛函可以推导出平衡方程和应变位移关系，这样加起来就可以导出全部的弹性力学方程了。从这个意义上说，Hu-Washizu泛函是三场泛函，对应的变分是三场变分原理。

到此为止，是不是就意味着钱伟长的质疑有问题？其实钱伟长质疑本身一点问题也没有，是完全正确的科学态度，从这个问题的解答过程可以看出钱伟长的思想是非常深刻的，他对变分原理的高水平学术探索极大的提升了人们对变分原理的理解。

特别是，钱伟长先生还为此提出了一种更一般的泛函，这个泛函刚好也有Clausius-Duhem 不等式中某种结构，所以也是三场泛函，其对应的变分原理也是三场变分原理。由于钱伟长的广义泛函含有一个任意的标量，调节其值可以推导出无穷多种泛函，Hu-Washizu泛函只是其特例之一，所以钱伟长先生提出的高阶变分原理是三场变分原理并且是更一般的三场变分原理。

论文作者：孙博华教授为唯一作者。

原文链接：https://www.amm.shu.edu.cn/EN/10.1007/s10483-022-2838-5

作者孙博华教授，江苏徐州人，2010年当选南非科学院院士，现任西安建筑科技大学力学技术研究院（IMT）院长、首席科学家、土木工程学院教授、博士生导师。主要从事连续介质力学、细薄结构和仿生结构力学、湍流现象、力学问题标度律等方面的研究。曾主持过多项南非科技部和南非国家基金会的研究课题多项，发表学术论文百余篇，编著出版专著多部。兼任中国力学学会第十一届理事会特邀理事、《Acta Mechanica Sinica》编委、《力学进展》第六届编委会特邀编委。曾留学荷兰 TUDelft (Research Fellow)和德国Ruhr Uni. Bochum（洪堡学者）； 曾任南非开普半岛技术大学教授、大学Senate和Centre for Mechanics and Technology主任、暨南大学国际学院首任院长和理工学院一级特聘教授、北京大学工学院访问教授、曾获2017年度清华大学杰出博士后校友奖。