访谈掠影
2019年12月13日下午14:00，由力学技术研究院开展的力学家访谈，在IMT办公室进行。本期访谈的嘉宾是上海大学上海市应用数学和力学研究所卢东强研究员。IMT研究生和教师参与了本次访谈。
力学家访谈想法源于对广大力学家致敬，本系列访谈聚焦力学方向，对各大杰出的力学家发出邀请。各力学大师，在“力学家访谈”中分享自己的学术成果、科研心得、新思想，以此增强学生的科研能力，迸发出激情。
本次访谈，学生主要以卢东强研究员在摄动方法与渐近分析的基本思想及其在水波动力学中的应用为采访重点。采访内容如下：
问：摄动法可以把一个困难的非线性问题分解为无数个比较容易的问题，能给出正确的显式解的解析结构，用以定性地和近似定量地讨论进行物理问题本质，可在大量近似的基础上，物理本质是否能保证自洽，摄动法的局限性体现在哪些方面？
答：
从实际问题中建立的数学模型，常常是非线性、变系数（非均匀性）的控制方程，附带已知或未知的复杂的动态的边界上的非线性边界条件。这样的定解问题绝大多数求不出精确的分析解。摄动方法方实际上是作为一种解析类方法，可以把一个非线性问题转化成一系列简单的问题，它主要是通过渐近级数运用一个无量纲的参数，它通常是小参数或者大参数。这个参数可以出现在方程或者定解条件中。摄动方法主要的思想，是将非线性、高阶的或变系数的定解问题的解，通过迭代的方法，用所含的某个参数的渐近展开式的前几项来表示。由于渐近展开式的系数可以是线性或基本上是线性的、较低阶的或系数的定解问题来确定，所以一般比原问题要简单而容易求解。
对于一些简单的非线性项，比如这个函数乘上某一个函数的导数，显然是完全的非线性项，这一般很少能直接给出解析解。但是如果其中的一个系数量化是由上一阶的量作为他的一个已知量放进去，然后通过迭代就可以把非线性变成一个线性问题。对级数解做迭代，这样非线性系数变成就能转化成求解每一阶的线性问题。这一类方法，基本上就是一种用迭代逐次逼近的方法把问题分解，这就是摄动法方法原理。
摄动法的优势就是能够得到一个是比较明确的解析解。跟我们数值迭代不一样，数值迭代得到的就是一系列的数值，而我们希望得到一系列解析公式。有了这些公式，我们就能够通过解析解的形式对结果有比较清楚的认识。如果讨论局限性的话，每种方法，无论是数值的还是解析的，都有自己一定的适用范围。摄动的方法它最大的一个特点，就是保持它的解析性。做一个级数展开时，它的解最好是收敛的，或者是一个具有渐近性质的解。如果问题是从物理实际当中提炼出来，我们通常选择某一参数，做一个渐近级数展开。这个参数往往是一个比较小的参数，或者一个比较大的参数。摄动法依赖一个小的或者一个大的参数，这也是摄动法的一个局限性。
问：您能向我们简单介绍一下奇异摄动理论的发展史吗？
答：
摄动法其基本思想和级数法是一样的，前两个世纪人们对渐近这个概念不是特别容易接受，大家主要关注级数的收敛性和发散性。对于级数的渐近性方面，不太关注，因为渐进级数它可以是收敛也可能是发散的。一个收敛的函数，我们可以认为其左边函数跟右边的级数是等项价。如果是一个发散的级数，尤其是发散的求和就没有多大的意义。但从另外一个角度去看，这个级数即使发散，但如果他具有渐近性的话，也是有意义的。实际上，渐近级数是建立在非常严密的数学理论上。渐近级数本身这一数学工具它也是一套严密的理论体系。渐近性质其实也是级数的一种性质。
大概在一八八几年到一八九几年，开始有渐近级数理论。我们讨论一个渐近级数的，根据问题的解，发现在这种展开的形式下，也有得不出符合物理的正确结论，存在的数学上的奇异性，因此本身方法上需要一些改进。人们发现原来直接展开迭代的渐近形式失效，需要发展新的途径。不能够通过正则展开在整个区域里面得到完全有效的解的情况下，称之为奇异摄动。奇异摄动从总体上来讲可以分为两大类型，在空间意义上，如果只考虑空间问题，那么涉及到边界层，它就叫做边界层型奇异摄动问题。还有一种它是叫长期项型，当我们得出来结果，发现当时间趋向无穷大的时候，某一个量会趋向于无穷大。当我们给出来一个解，它不符合物理事实，那么很可能是我们的问题的提法有瑕疵，在建模的过程当中，可能模型是不准确的。还有一种可能，因为渐近法求解时是一种近似的解法，所以有可能在求解过程当中出错，得出不符合物理现象的数学结果，根源来自于问题的提法或者解法。如果问题提法正确的话，我们回过来看它的解法。在求解的过程中，就发现我们用正则展开的思路做是不行的，所以需要换别的办法。关于长期项型的方法，包括很多华人学者比如钱伟长、林家翘、郭永怀都做了很多的贡献。奇异摄动法，大概在我们过去五六十年前，是比较兴旺的。
从历史上看，奇异摄动其实完全来自于力学。在流体力学中，很多时候我们把流体当成理想的，流体的粘性在某些时候某些区域忽略了，也就是那个量是个小量，它只有在边界层才起一个比较大的作用。如果边界上的物理的变化量变化比较急剧，但远离边界层的时候变化比较缓慢，这两种物理变化，一个快，一个慢，就不能用一套变量去描述。边界层理论及其奇异摄动方法就是由流体力学家提出来的。
问：孤立波和扰动源生成的波动在进行动力学分析时有什么不同点？
答：
波动可以分为几种情况，一种叫周期波，周期波就是在无限区域上的一种周期运动。还有一种情况，孤立波完全是一个波包，波长无限长，不像一个周期的脉动，它就一个波包。波动的产生的机制很多，一般什么情况下会产生周期性的波动？什么情况下会产生孤立波？有一定的判据。以移动载荷为例，移动载荷生成的波，由于载荷本身有移动速度，波动它本身有一个传播的速度。比如说毛细重力波，它有一个最小的相速度，如果移动载荷，在最小相速度的附近，就会产生一个比较大的能量聚集，这个时候会有大振幅的波动。对于不同的载荷，什么时候会产生线性波什么时候会产生非线性波是一个值得研究的问题。我们目前研究的问题，暂时没考虑它的产生条件，有时候直接假设已经生成了周期波，或者假设它是孤立波，再来考虑它的演化问题。
问：数学是研究生研究课题必不可少的工具，但因各种程序的开发，当代研究生的数学功底逐渐薄弱，您对此有什么看法？如何在研究中更好地使用数学这个工具，您有什么建议？
答：
书里的内容可能会消亡，它是静态的。而方法本身它就能永久存在，它不会消散。目前研究者大量地依赖软件，不是说不可以，软件也是需要的。但是我们要明白软件的关键是算法。编程序的话，无非还是把算法用语言去实现。这个算法就是数学。数学，为我们数值方法提供了一个基础。很多思想其实是相近的，不同专业对不同的数学需求不一样，比如说力学专业就对数学的需求度比较大。像一些经典的解法，包括经典力学当中的一些概念，需要深刻去掌握，也非常有助于我们应用和理解数值方法。
我参加很多学生答辩，很多人都用软件计算，当问他到底怎么算的，好多学生也答不上来，因为他并没有真正地参与到这个算法。如果用软件去算，不知道黑匣子里面有什么东西，即使数据得到了，对于怎样算的却不太了解，那结果也不敢用。计算机把我们从简单的劳动中解脱出来，这是优点。我们做摄动法时，随着阶数的增高，公式推导的难度和运算量就很大，手工推导公式很花时间甚至容易出错。但是，现在计算机的发展，不仅有数值计算的软件，还有符号计算。我们需要计算机作为一个工具，但我们更需要数学，因为在数学的引导下，我们要告诉计算机算法，而不是不知道什么东西，扔进去，拿出来！如果你有一个深厚数学基础，我觉得在大学里面应该把基础掌握牢，那些软件其实学习很简单，你一旦需要很快就能上手。总体说，学好数学，很关键，也很实用。
问：在摄动法中，小量应该如何选取？
答：
小量的选取，首先要有很强的物理直观。有时候我们没办法去直观判断，到底选哪一个量作为小参数的时候。当然有些问题也比较成熟，比如说流体力学当中流体的粘性，它在很多地方起作用在某些地方不起作用，说明它是小量。那么这个有直观后，往往思路就大致确定了，无量纲后粘性可能就是个小量。再比如有时考虑阻尼的机械振动，运动的过程弹性力起主要作用，阻尼可能不是主要的。这个时候阻力无量纲化出来的结果，可能这个阻力就是小量。还有一种情形，考虑非线性问题，非线性的效应不是很明显，这个时候有可能把非线性效应无量纲化出来的那个量取为小量。有一些问题我们大概能够通过物理直观去判断的，能够很准确的选出。如果对于一个完全陌生的问题，开始就试着凑。比如可能有多个尺度，每一个尺度都相互比较，比完之后选出来。
我们所讲的小参数，可能不一定很小，很大的范围它也能成立。我们刚开始要做一个级数展开，在这一点的邻域上做级数展开，但后来发现它的收敛域其实可以很大，不是说一个小小的领域，摄动参数也有这个特点，这个解它的适用的范围有多大？不能单看这个结果本身还要去跟实际去验证。
采访人：戴远帆 李翔
当前位置: